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宇宙中的基本粒子负载Lorentz群的不可约表示。约60年前，诺贝尔奖得主E. Wigner提出用时空对称群的投影表示来描述基本粒子，并预言了新的粒子，这些粒子在时间反演下的行为并不依赖于其自旋大小s，即T²可以不等于(-1)^2s。但Wigner预言的新粒子并未在高能物理实验中观测到。

近20年来，凝聚态物理中的准粒子成为一个重要的研究方向，在低能极限下不仅实现了高能物理中的基本粒子，如Dirac费米子、Weyl费米子等，而且出现大量高能物理中不存在的新型准粒子。晶体中平移和旋转对称性离散化，使得时空对称群更为丰富。比如描述晶体对称性的空间群有230种，当推广到磁性系统时，磁空间群种类多达1651种。而且，由于晶体中螺旋轴和滑移面的存在，准粒子的对称性能发生“分数化”，按对称群的投影表示的规律变换，从而大大丰富了凝聚态中准粒子的类型。那么，凝聚态中究竟能实现多少种准粒子？如何对这些准粒子进行完整分类？Wigner预言的新粒子能否在凝聚态中实现？

中国人民大学刘正鑫教授与中科院物理所方辰研究员、博士后杨健等人长期合作，对上述问题展开了系统性的研究，对于具有巡游电子的磁性系统，从动量点的对称群（小旁群）的投影表示出发，通过对称性不变量（第二群上同调的生成元），对凝聚态中准粒子的类型进行了完整的分类和表征，并取得一系列重要成果。

传统理论认为磁性晶格系统的对称群由磁空间群描述，其中自旋旋转和晶格的转动完全绑定（即默认系统具有较强自旋轨道耦合）。小旁群的投影表示的相位因子以及相应的不变量包含两部分的贡献，一部分来自于螺旋轴或滑移面中的分数格点平移，另一部分来自于巡游电子的半整数自旋。基于此，刘、方、杨等人非磁性系统中所不能存在的投影类得以实现，并对强自旋轨道耦合磁性系统（第III类和第IV类磁空间群）中的多种节点型或节线型准粒子类型及相应的半金属进行了预言。该成果以“Symmetry-protected nodal points and nodal lines in magnetic materials”为题发表于Physical Review B103, 245141 (2021)（预印版arXiv:2101.01733）

尽管磁空间群帮助实现了多类投影表示类，依然有很多类准粒子不能实现。如果关闭电子的自旋轨道耦合，解除自旋和晶格自由度的绑定，则有可能实现更多类别的准粒子。文献中称弱自旋轨道耦合磁性系统的完整对称群为自旋空间群，其中自旋操作与格点的转动操作解除了绑定。有一类自旋空间群与磁空间群同构，基于这一类自旋空间群，刘、方、杨等人考虑小旁群具有（其中P是点群，Z₂^T是时间反演群）群结构的情况，当遍历自旋转动与晶格转动的所有自洽的组合时，218类新的投影类得以实现。该成果以“Symmetry invariants and classes of quasiparticles in magnetically ordered systems having weak spin-orbit coupling”为标题，发表于Nature Communications1510203(2024)（预印版arXiv: 2105.12738）。该工作中正式引入了投影对称不变量（简称对称不变量）的概念来描述基本粒子的投影表示的类别，并从理论上证明，具有不同的对称不变量的准粒子一定具有不同的物理性质，可以设计实验手段予以区分。从而，Wigner所预言的新型基本粒子在凝聚态物理中以准粒子的形式得以实现。此外，该工作还对自旋空间群的结构进行了研究，并对其完整的枚举提供了思路。

在前述工作的基础上，中科院物理所的博士研究生蒋毅、宋子寅、朱天念及博士后杨健在方辰研究员、翁红明研究员、方忠院士和中国人民大学刘正鑫教授的指导下，对自旋空间群进行了完整的列举，用于完整描述磁结构的对称性。图1展示了列举的思路。对于12倍以内扩胞的磁结构，得到157289个非共面自旋群，24788个共面非共线自旋群，以及1421个共线自旋群。所有自旋群的信息可在线上数据库中查询。自旋空间群的完整列举不仅可以更全面地描述磁结构，还可以用来描述电子能带结构的对称性。自旋轨道耦合效应较弱的材料(如Mn₃Sn)的某些高维简并对应于自旋空间群的不可约表示，无法用磁空间群的表示理论解释。因此，自旋空间群在理解磁性材料的电子能带和拓扑结构方面具有很大优势。该工作以“Enumeration of Spin-Space Groups: Toward a Complete Description of Symmetries of Magnetic Orders”为题发表于Physical Review X14, 031039(2024)(预印版arXiv: 2307.10371)。该杂志同一期还发表了北京大学宋志达教授课题组和南方科技大学刘奇航教授课题组独立完成的对自旋空间群的列举工作PRX14, 031037，PRX14, 031038，这三篇工作开启了磁性材料“自旋群磁性”研究的新方向。

    图1：自旋空间群列举算法流程图

自旋空间群的不可约表示对于研究弱自旋轨道耦合材料的能带结构具有重要意义。但由于自旋空间群种类繁多，对所有自旋空间群的不可约表示的全面研究具有一定的挑战，需要发展高效的算法来处理。尤其是，大多自旋空间空间群都是反幺正群，其不可约表示理论比幺正群更加微妙。刘正鑫教授和博士研究生杨镇源及杨健博士、方辰研究员对反幺正群的不可约表示进行了系统的研究，发展了基于类算符的本征函数法(由陈金全先生开创)以及基于随机矩阵的Hamiltonian方案[J. Phys. A: Math. Theor.51, 025207 (2018);J. Phys. A: Math. Theor.54, 265202 (2021)]。不仅推导出反幺正群不可约表示的判据，还从物理角度提出了任意有限维反幺正群表示的约化方法，并用于准粒子k·p色散阶数的判别和对k·p哈密顿量的计算方法的优化。在此基础上，中科院物理所的博士研究生宋子寅及合作者编写了高效的程序，并且对线上数据库中的自旋空间群在指定动量点的不可约表示进行实时计算并输出单值表示（用于描述自旋波能带）和双值表示（用于描述电子能带）的特征标。该工作还提供了代码对磁性材料的自旋空间群自动识别，为后续磁性材料的研究铺平了道路。该工作题为“Constructions and Applications of Irreducible Representations of Spin-Space Groups”，目前正在Physical Review B审稿中（预印版arXiv:2409.1360）。

此外，凝聚态中对准粒子类型的探索也可以扩展到超导系统以及强关联系统（如量子自旋液体）。中国人民大学刘正鑫课题组博士研究生杨镇源对具有粒子-空穴对称性的Bogoliubov-de Gennes系统进行了系统的研究，指出具有反对易对称性的群的不可约表示可分类为“简单不可约表示”和“复合不可约表示”。该研究表明，受保护的简并严格出现在零能量处。尤其当系统存在特定的电荷共轭对称性时，零能准粒子可以出现在给定的高对称动量点，这一结论不同于文献中零能模的动量可以自由变化的情况。该工作不仅对凝聚态中Majorana类型无能隙体激发模式的实现提供了依据，而且对凝聚态中费米子系统最一般的对称群（其中电荷操作和自旋操作的集合构成SO(4)群）的描述提供了思路。该工作以“Representation theory for massless quasiparticles in Bogoliubov-de Gennes systems”为题发表于Physics Review B110,054507 (2024)(预印版arXiv:2405.20298).

上述工作得到国家自然科学基金委员会、科技部国家重点研发计划、中国人民大学中央高校基本科研业务费专项资金、新基石科学基金会、中国科学院先导专项B的资助。